Matemática em ação

Hoje existem diferentes definições para o termo "fractal". Contudo, todas estão fundadas pela noção introduzida, primeiramente, por Benoît Mandelbrot. Segundo ele, a palavra "fractal" foi cunhada a partir do adjetivo em latim "fractus", que pode significar tanto "quebrado", "partido", como também "irregular". Os fractais são constituídos por formas geométricas abstratas formadas a partir de padrões complexos repetidos infinitamente, mesmo limitados por uma área finita. Esses padrões são gerados a partir de funções reais ou complexas que, aplicadas de forma interativa, produzem resultados impressionantes, considerados por muitos de uma beleza incrível. Além de apresentarem características comuns como a auto-semelhança, a dimensionalidade e a complexidade infinita, Mandelbrot constatou também uma curiosa e interessante relação entre os fractais e elementos encontrados na natureza. Com esta imagem, de um tipo de brócolis exótico no qual cada parte é uma cópia do todo, o Professor pode mostrar a presença de elementos fractais na natureza por meio de uma de suas principais propriedades: a repetitividade.



Fonte: http://www.diaadia.pr.gov.br/tvpendrive/modules/mylinks/viewcat.php?cid=15&min=300&orderby=ratingA&show=10

Deixe sua última frase para o mundo!!!

ESPÍRITA	Volto já.
INTERNAUTA	www.aquijaz.com.br
AGRÔNOMO	Favor regar o solo com Neguvon. Evita Vermes.
ALCOÓLATRA	Enfim, sóbrio.
ARQUEÓLOGO	Enfim, fóssil.
ASSISTENTE SOCIAL	Alguém aí, me ajude!
BROTHER	Fui.
CARTUNISTA	Partiu sem deixar traços.
DELEGADO	Tá olhando o quê? Circulando, circulando...
ECOLOGISTA	Entrei em extinção.
ENÓLOGO	Cadáver envelhecido em caixão de carvalho, aroma Formol e after tasting que denota presença de Micoorganismos diversos.
FUNCIONÁRIO PÚBLICO	É no túmulo ao lado.
GAY	Virei purpurina.
HERÓI	Corri para o lado errado.
HIPOCONDRÍACO	Eu não disse que estava doente?!?!
HUMORISTA	Isto não tem a menor graça.
JANGADEIRO DIABÉTICO	Foi doce morrer no mar.
JUDEU	O que vocês estão fazendo aqui? Quem está tomando Conta da lojinha?
PESSIMISTA	Aposto que está fazendo o maior frio no inferno.
PSICANALISTA	A eternidade não passa de um complexo de superioridade mal resolvido.
SANITARISTA	Sujou!!!
VICIADO	Enfim, pó!

Algumas “pérolas” extraídas de provas do ENEM 2007 e 2008 com comentários.

1. Não cei se o presidente está melhorando as insdiferenças sociais ou promovendo o sarneamento dos pobres. Me pré-ocupa o avanço regresssivo da violência urbana. (”Sarneamento” deve ser o conjunto de medidas adotadas por Sarney no Maranhão. Quer dizer, eu “axo”, mas não me “pré-ocupo” muito.)

2. Fidel Castro liderou a revolução industrial de 1917, que criou o comunismo na Russia’. (Não, besta, foi o avô dele.)

3. O Convento da Penha foi construído no céculo 16 mas só no céculo 17 foi levado definitivamente para o alto do morro. (Demorou o ‘céculo’ inteiro pra fazer a mudança.)

4. A História se divide em 4: Antiga, Média, Momentânea e Futura, a mais estudada hoje. (Esqueceu a História em Quadrinhos.)

5. Os índios sacrificavam os filhos que nasciam mortos matando todos assim que nasciam. (Pena que a mãe dessa anta não fosse índia.)

6. Bigamia era uma espécie de carroça dos gladiadores, puchada por dois cavalos. (Ou era uma ‘biga’ macho que tinha duas ‘bigas’ fêmeas, puxada por um burro?!)

7. No começo Vila Velha era muito atrazada mas com o tempo foi se sifilizando. (Deve ter sido no tempo em que lá chegaram as primeiras prostitutas.)

1) “o problema da amazônia tem uma percussão mundial. Várias Ongs já se estalaram na floresta.” (percussão e estalos. Vai ficar animado o negócio)
2) “Vamos nos unir juntos de mãos dadas para salvar planeta.”
(tamo junto nessa, companheiro. Mais juntos, impossível)
3) “A floresta tá ali paradinha no lugar dela e vem o homem e créu.” (e na velocidade 5!)
4) “Tem que destruir os destruidores por que o destruimento
salva a floresta.” (pra deixar bem claro o tamanho da destruição)
5) “O grande excesso de desmatamento exagerado é a causa da devastação.” (pleonasmo é a lei)
6) “Espero que o desmatamento seja instinto.” (selvagem)
7) “A floresta está cheia de animais já extintos. Tem que parar de desmatar para que os animais que estão extintos possam se reproduzirem e aumentarem seu número respirando um ar mais limpo.” (o verdadeiro milagre da vida)
8) “A emoção de poluentes atmosféricos aquece a floresta.”
(também fiquei emocionado com essa)
9) “Tem empresas que contribui para a realização de árvores renováveis.” (todo mundo na vida tem que ter um filho, escrever um livro, e realizar uma árvore renovável)
10) “Animais ficam sem comida e sem dormida por causa das queimadas.” (esqueceu que também ficam sem o home the ater e os dvd’s da coleção do Chaves)
11) “Precisamos de oxigênio para nossa vida eterna.” (amém)
12) “Os desmatadores cortam árvores naturais da natureza.” (e as renováveis?)
13) “A principal vítima do desmatamento é a vida ecológica.”
(deve ser culpa da morte ecológica)

14) “Explorar sem atingir árvores sedentárias.” (peguem só as que estiverem fazendo caminhadas e flexões)
15) “Os estrangeiros já demonstraram diversas fezes enteresse pela amazônia.” (o quê?)
16) “Paremos e reflitemos.” (beleza)
17) “Retirada claudestina de árvores.” (caráulio) 18) “Temos que criar leis legais contra isso.” (bacana)
19) “A camada de ozonel.” (Chris O’Zonnell?)
20) “a amazônia está sendo devastada por pessoas que não tem senso de humor.” (a solução é colocar lá o pessoal da Zorra Total pra cortar árvores)
21) “A cada hora, muitas árvores são derrubadas por mãos poluídas sem coração.” (para fabricar o papel que ele fica escrevendo asneiras)
22) “A amazônia está sofrendo um grande, enorme e profundíssimo desmatamento devastador, intenso e imperdoável.” (campeão da categoria “maior enchedor de lingüiça”)
23) “Vamos gritar não à devastação e sim à reflorestação.” (NÃO!)
24) “Uma vez que se paga uma punição xis, se ganha depois vários xises.” (gênio da matemática)
25) “A natureza está cobrando uma atitude mais energética dos governantes.” (red bull neles - dizem as árvores)
26) “O povo amazônico está sendo usado como bote expiatório” (ótima)
27) “O aumento da temperatura na terra está cada vez mais aumentando.” (subindo!)
28) “Na floresta amazônica tem muitos animais: passarinhos, leões, ursos, etc.” (deve ser a globalização)

29) “Na cama dos deputados foram votadas muitas leis.” (imaginem as que foram votadas no banheiro deles)
30) “Os dismatamentos é a fonte de inlegalidade e distruição da froresta amazonia.” (oh god)
31) “O que vamos deixar para nossos antecedentes?” (dicionários)

Semana passada comprei um produto que custou R$  1,58.
Dei à balconista R$ 2,00 e peguei na minha bolsa 8 centavos, para
evitar receber ainda mais moedas.
A balconista pegou o dinheiro e ficou  olhando para a máquina
registradora, aparentemente sem saber o que fazer.
Tentei explicar que ela tinha que me dar 50 centavos de troco, mas ela
não se  convenceu e chamou o gerente para ajudá-la.
Ficou com lágrimas nos olhos  enquanto o gerente tentava explicar e
ela aparentemente continuava sem  entender.
Por que estou contando isso?
Porque me dei conta da evolução do  ensino de matemática desde 1950,
que foi assim:

1. Ensino de  matemática em 1950:

Um cortador de lenha vende um carro de lenha por R$  100,00.
O custo de produção desse carro de lenha é igual a 4/5 do preço de   venda .
Qual é o lucro?

2. Ensino de matemática em 1970:

Um  cortador de lenha vende um carro de lenha por R$ 100,00.
O custo de produção  desse carro de lenha é igual a 4/5 do preço de
venda ou R$ 80,00.
Qual é o  lucro?

3. Ensino de matemática em 1980:

Um cortador de lenha vende um  carro de lenha por R$ 100,00.
O custo de produção desse carro de lenha é R$  80,00.
Qual é o lucro?

4. Ensino de matemática em 1990:

Um cortador de  lenha vende um carro de lenha por R$ 100,00.
O custo de produção desse carro  de lenha é R$ 80,00.
Escolha a resposta certa, que indica o  lucro:
( )R$ 20,00 ( )R$40,00 ( )R$60,00  ( )R$80,00 ( )R$100,00

5. Ensino de matemática em  2000:

Um cortador de lenha vende um carro de lenha por R$ 100,00.
O custo  de produção desse carro de lenha é R$ 80,00.
O lucro é de R$ 20,00.
Está  certo?
( )SIM ( )  NÃO

6. Ensino de matemática em 2007: (e atualmente!!)

Um cortador de lenha vende um  carro de lenha por R$100,00.
O custo de produção é R$ 80,00.
Se você souber ler coloque um X no R$ 20,00.
( )R$ 20,00  ( )R$40,00 ( )R$60,00 ( )R$80,00 ( )R$100,00

E assim, vem sendo…

Fonte: http://www.braian.com.br/?p=2396

A matemática também está no futebol. E isso ocorre por vários motivos. Primeiramente, sem números não seria possível marcar pontos, classificar as equipes, saber quem está melhor ou pior no campeonato. Além disso, os objetos que usamos no futebol são geométricos: o campo é um retângulo, a bola é uma esfera, etc....

Vamos comentar um pouco sobre a necessidade dos goleiros entenderem de ângulos, mais precisamente de BISSETRIZ de um ângulo.

Se você ainda não sabe, a bissetriz de um ângulo é a reta que o divide em duas partes de mesma medida. É simplesmente uma reta que corta o ângulo ao meio.Toda vez que um jogador está para "bater" uma bola para o gol, ele está vendo o gol sob um ângulo (de trave a trave).Um goleiro, para estar bem posicionado e ter mais chances de defesa, precisar estar em cima da bissetriz desse ângulo. 


 

Sendo assim, a linha vermelha do desenho acima é onde deve se posicionar o goleiro. As outras duas retas seriam a linha tracejada a partir dos dois postes. A origem de todas as retas, seria o ponto onde está a bola. Para deixar mais fácil de compreender,observe o desenho abaixo simulando essa situação.



 A teoria é simples. Basta o goleiro ficar posicionado em cima dessa linha pontilhada vermelha que estará cobrindo o máximo ângulo do atacante. Cabe reassaltar que a medida que o goleiro se aproxima da bola o ângulo fica menor ainda para o adversário. No entanto, a chance de ser encoberto aumenta proporcionalmente.

O desafio está em treinar esse posicionamento para na hora do jogo conseguir ficar ao máximo postado em cima desta linha. Na prática é claro que é muito difícl. Reside aí o fato de se dizer que um goleiro se posiciona melhor que o outro. Nada mais é do que acertar mais os pés em cima da bissetriz. Trabalhe isso em seus treinamentos que a necessidade de voar para defender reduzirá bastante. Defesas mais simples e bem mais seguras certamente passarão a ocorrer com maior frequência.


Fonte: http://www.guarda-metas.com/2009/01/ainda-sobre-bissetriz.html

Multiplicar por 11
  
Todo mundo sabe que quando queremos multiplicar qualquer número pode 10 apenas devemos colocar um zero ao final.
Há um truque igualmente fácil para multiplicar por 11.
Pegue qualquer número de dois dígitos e imagine um espaço em branco entre eles. Neste exemplo iremos usar 72:
7_2
Agora coloque o resultado da soma dos mesmos dois números no espaço em branco:
7_(7+2)_2
Simples assim, você chega à sua resposta: 792
Caso a soma central gere um número com dois dígitos você terá que pegar o primeiro dígito desta soma e somar com o primeiro dígito do número original. Vamos utilizar o número 93:
9_3
9_(9+3)_3
9_(12)_3
(9+1)_2_3
1023
Nunca falha!


Fonte: http://jf.eti.br/matematica-legal-10-truques-simples/

• Homem esperto + Mulher esperta = Romance
• Homem esperto + Mulher burra = Caso
• Homem burro + Mulher esperta = Casamento
• Homem burro + Mulher burra = Gravidez

• Chefe esperto + Empregado esperto = Lucro
• Chefe esperto + Empregado burro = Produção
• Chefe burro + Empregado esperto = Promoção
• Chefe burro + Empregado burro = Hora Extra

Quando Paula digitou um número em sua calculadora, sua irmã Beatriz notou que ele formava o nome de uma nota musical, quando lido de ponta cabeça. Em seguida, Paula dividiu o número por outro, primo, e Beatriz viu surgir um nome de nota musical diferente. Então, perguntou à irmã se ela sabia que isso acontecia. Paula multiplicou o resultado anterior por outro número de um só digito e Beatriz pôde ler sua resposta, também olhando de cabeça para baixo. Quais foram os números e as palavras envolvidas nessas operações ?





Dois pais e dois filhos entraram num bar e pediram três refrigerantes. Cada um tomou uma garrafa inteira, ou seja, nenhum deles deixou de beber o seu refrigerante. Como isso foi possível?




 R: 1) O primeiro número era 705, que visto de ponta cabeça lê-se como SOL. Dividido por 47, dá 15, que parece com SI. Multiplicado por 9, dá 135, que, invertido, lê-se como SEI.
       2)Avô, pai e filho.

Existem 10 tipos de pessoas...

As que sabem matemática de base binária
e as que não sabem!

Qual é o número da placa?






R: 7744

R: Cavalo = 5 sacos; Mula = 7 sacos

Utilizando dobradura na figura acima, como mostrar que a soma dos ângulos internos de um triângulo é 180º?


1. Existe uma linha horizontal dentro da região em azul. Dobre a região que está acima desta linha horizontal sobre a região em azul que está abaixo desta linha.
2. Existe uma linha vertical dentro da região em verde. Dobre a região que está à direita desta linha vertical sobre a região em verde que está à esquerda desta linha.
3. Existe uma linha vertical dentro da região em amarelo. Dobre a região que está à esquerda desta linha vertical sobre a região em amarelo que está à direita desta linha.
4. Após dobrar as três regiões coloridas você obtem um retângulo.
5. As medidas dos ângulos A, B e C, são respectivamente iguais às medidas dos ângulos A*, B* e C*.
6. Como a soma das medidas dos ângulos A, B e C é igual a 180 graus, então a soma das medidas dos ângulos A* , B* e C* também é igual a 180 graus.

Uma pessoa falou com a outra: "Se você me der R$1,00, eu terei o dobro do que você tem". Então o outro disse: "Se você me der R$1,00, teremos dinheiros iguais". Quanto tinha cada um?






R.: x=5 e y=3

 
Antônio Carlos Jobim e Marino Pinto foram os autores de uma fabulosa matemática musical. Dentre tantos sucessos nacionais, tiveram paciência e perspicácia para escrever uma letra (“Aula de matemática”) totalmente acoplada com as definições e ideias matemáticas. 

Letra da música: Aula de Matemática

Números positivos e negativos

Temperatura: Usamos números positivos e negativos para marcar a temperatura. Se a temperatura estiver em 20 graus acima de zero, podemos representá-la por +20 (vinte positivo) . Se marcar 10 graus abaixo de zero, essa temperatura é representada por -10 (dez negativo).

Conta bancária: é comum a expressão saldo negativo. Quando retiramos (débito) um valor superior ao nosso crédito em uma conta bancária, passamos a ter saldo negativo.

Nível de altitude: quando estamos acima do nível do mar, estamos em uma elevação (altitude positiva). Quando estamos abaixo do nível do mar, estamos numa depressão (altidude negativa).

Fuso horário: Se a abertura de uma Copa do Mundo estiver ocorrendo às 12 horas em Londres, voce estará assistindo a essa cerimônia transmitida ao vivo, pela televisão, em horário diferente. Se você estiver em São Paulo, será às 9 horas. Em Tóquio, será às 21 horas do mesmo dia.

Isso ocorre de acordo com a localização de cada cidade em relação a uma referência (nesse caso, Londres), considerada o ponto zero.

Razõs e Proporções

Razões e proporções são utilizadas em análise de dados, pesquisas, projeções e estimativas das mudanças e transformações que poderão ocorrer no Universo.

Trigonometria

A trigonometria possui diversas aplicações práticas. Encontramos aplicações da Trigonometria na Engenharia, na Mecânica, na Eletricidade, na Acústica, na Medicina, na Astronomia e até na Música. Por exemplo, a trigonometria do triângulo retângulo nos permite realizar facilmente cálculos como:

• altura de um prédio através de sua sombra.
• distância a ser percorrida em uma pista circular de atletismo.
• largura de rios, montanhas etc.
• medida do raio da Terra, distância entre a Terra e a Lua.

Matrizes

Muitas animações que vemos no cinema utilizam matrizes. Desde o movimento dos personagens até o quadro de fundo podem ser criados por softwares que combinam pixels em formas geométricas, que são armazenadas e manipuladas. Os softwares codificam informações como posição, movimento, cor e textura de cada pixel. Para isso, utilizam vetores, matrizes e aproximações poligonais de superfícies para determinar a característica de cada pixel. Um simples quadro de um filme criado no computador tem mais de dois milhões de pixels, o que torna indispensável o uso de computadores para realizar todos os cálculos necessários.

Fonte: http://www.somatematica.com.br/index2.php

                               

 Obs.: Se você usa um zero, use uma linha pontilhada. Quando uma linha pontilhada cruza uma outra linha pontilhada ou uma linha lisa, contagem zero.

Os primeiros indícios envolvendo o estudo sobre os números primos estão ligados aos matemáticos gregos, que haviam identificado as suas propriedades. Esses números despertavam curiosidades relacionadas às numerologias e às questões místicas. Euclides também teve papel incisivo nos assuntos matemáticos envolvendo os algarismos primos, e no livro “Os Elementos”, concretiza a existência de infinitos números primos.

A continuidade dos estudos e a perseverança em listar os números primos conhecidos, fez com Eratóstenes criasse um mecanismo prático capaz de determinar os números primos dentro de intervalo dado. Esse mecanismo recebeu o nome de crivo de Eratóstenes. Vamos determinar os números primos de 0 a 100 através do método de Eratóstenes.

Eliminar o número 0 e o 1.
Eliminar os múltiplos do número 2, maiores que ele.
Eliminar os múltiplos do número 3, maiores que ele.
Eliminar os múltiplos do número 4.
Eliminar os múltiplos do número 5, maiores que ele.
Eliminar os múltiplos do número 6.
Eliminar os múltiplos do número 7, maiores que ele.
Eliminar os múltiplos do número 8.
Eliminar os múltiplos do número 9.
Eliminar os múltiplos do número 10.

Obs.: Alguns números são múltiplos de dois ou mais algarismos, por isso, em algumas situações o número terá sido eliminado anteriormente.







Fonte: http://www.mundoeducacao.com.br/matematica/numeros-primos.htm

O Holandês Maurits Cornelis Escher, (ou M. C. Escher, como é mais conhecido), é primordialmente reconhecido pelo seu incrível talento artístico em misturar elementos de surrealismo com elementos de matemática além de sua incrível técnica em xilografia e litografia.
Algumas das questões matemáticas mais trabalhadas por ele  são o infinito, a divisão regular da superfíice, a representação de figuras tridimensionas em planos bidimensionais e os sólidos impossíveis.

 Algumas das suas obras impressionantes:

D. Antonieta é uma avó muito vaidosa que, entre outras coisas, gosta de disfarçar a idade. Quando chegou o seu aniversário, filhos e netos se reuniram e a curiosidade geral era sobre a sua idade, mas a única coisa que a vovó dizia era que estava entre os 55 e 65 anos. Entretanto, como insistissem muito, ela acabou dizendo sua idade, ainda que de forma indireta: “Cada um de meus filhos tem tantos filhos quanto irmãos e o número de todos os filhos e netos juntos é igual à minha idade”. Qual a idade de D. Antonieta?

A matemática ajuda a esclarecer alguns problemas de ilusão de ótica, um desses é o conhecido buraco no triângulo:


 

A princípio parece ter sumido um quadradinho, mas não se justifica, pois as figuras que formam os triângulos são as mesmas e iguais.

Que tal calcularmos a área de todas as figuras do triângulo "1" separadamente e depois totalmente?

Calculando a área de todas as figuras do triângulo "1" e depois somando-as obtem-se:


Agora vamos calcular a área desse triangulo como um todo, desconsiderando suas divisões.


Fonte: http://molinamatematico.blogspot.com/2008/12/iluso-de-tica.html